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極座標系の単位ベクトル

Cartesian は $\begin{bmatrix} x, y, z \end{bmatrix} ^\intercal$, 単位ベクトルは $\mathbf{e}$.

球座標系

$$ \begin{align} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} &= r \begin{bmatrix} \sin \theta \cos \phi \\ \sin \theta \sin \phi \\ \cos \theta \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} r \\ \theta \\ \phi \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \cos^{-1} z/r \\ \tan^{-1} y/x \end{bmatrix} \end{align} $$

$$ \begin{bmatrix} \mathbf{e}_r \\ \mathbf{e}_\theta \\ \mathbf{e}_\phi \end{bmatrix} =% \begin{bmatrix} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \hphantom{-} \cos \theta \\ \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & - \sin \theta \\ - \sin \phi & \cos \phi & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_x \\ \mathbf{e}_y \\ \mathbf{e}_z \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} \mathbf{e}_x \\ \mathbf{e}_y \\ \mathbf{e}_z \end{bmatrix} =% \begin{bmatrix} % \sin \theta \cos \phi & \cos \theta \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \sin \phi & \hphantom{-} \cos \phi \\ \cos \theta & - \sin \theta & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_r \\ \mathbf{e}_\theta \\ \mathbf{e}_\phi \end{bmatrix} $$

円柱座標系

$$ \begin{align} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \rho \cos \theta \\ \rho \sin \theta \\ z \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} \rho \\ \theta \\ \phi \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \sqrt{x^2 + y^2} \\ \tan^{-1} y/x \\ z \end{bmatrix} \end{align} $$

$$ \begin{bmatrix} \mathbf{e}_\rho \\ \mathbf{e}_\theta \\ \mathbf{e}_z \end{bmatrix} =% \begin{bmatrix} \hphantom{-} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ - \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_x \\ \mathbf{e}_y \\ \mathbf{e}_z \end{bmatrix} $$

$$ \begin{bmatrix} \mathbf{e}_x \\ \mathbf{e}_y \\ \mathbf{e}_z \end{bmatrix} =% \begin{bmatrix} \cos \theta & - \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \hphantom{-} \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{e}_\rho \\ \mathbf{e}_\theta \\ \mathbf{e}_z \end{bmatrix} $$

補足

ノルムを変えないので変換行列は直行行列である.